Resume Transfornasi Geometri

Transformasi Geometri
Transformasi T di bidang datar adalah suatu pemetaan titik di bidang yang sama. Jika titik (x,y) ditransformasikan menjadi titik (x’,y’) oleh transformasi T, maka ditulis T: (x,y) => (x’,y’). transormasi demikian disebut transformasi geometri.
Jenis-jenis transformasi geometri

1.     Translasi (Pergeseran)
2.     Refleksi (Pencerminan)
3.     Rotasi
4.     Dilatasi

Translasi (T)
Translasi  adalah perpindahan suatu objek  sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.

 










Jika titik P(x,y) digeser/dipetakan ke titik P’(x’,y’)  dengan translasi
maka x’ = x + a dan y’ = y + b atau P’ (x + a, y + b)

Dapat dituliskan dalam bentuk:

 

atau

Refleksi (Ma)
Refleksi adalah trnasformasi yang memetakan objek dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin.

















Jenis-jenis refleksi

1. Refleksi terhadap sumbu X (Mx) :matriksnya
2. Refleksi terhadap sumbu Y (My) :matriksnya 
3. Refleksi terhadap titik asal (Mo) :matriksnya
4. Refleksi terhadap garis Y=X :matriksnya 
5. Refleksi terhadap garis Y=-X :matriksnya 
6. Refleksi terhadap garis X=h : 
7. Refleksi terhadap garis Y=k : 
8. Refleksi terhadapa titik (a,b) :

Rotasi (R)
Rotasi adalah trnsformasi yang memetakan objek dengan cara memutarnya sejauh α dengan pusat di titik 0. Rotasi dikatakan memiliki arah positif, jika berlawanan arah jarum jam, sedangkan memiliki arah negative jika rotasi itu searah jarum jam

untuk mencari rumus rotasi terhadap sudut  α kita memerlukan satu sudut bantuan yaitu sudut θ
dari gambar kita peroleh:

sin⁡ θ = y/r
cos⁡ θ =  x/r
sin⁡ (α+θ) = y'/r
cos⁡ (α+θ) = x'/r

Sehingga:

x' = r.cos ⁡(α+θ)
x' = r.[cos α cos θ - sin α sin θ]
x' = r.[cos α .x/r -sin α .y/r]
x' = x  cos⁡α- y sin⁡α

dan

y' = r.sin ⁡(α+θ)
y' = r.[sin α cos θ+cos α sin θ]
y' = r.[sin ⁡α .x/r  +cos α .y/r]
y'= x sin⁡α + y cos⁡α


Untuk rotasi terhadap sudut α dengan pusat di titik P (a,b) cara mencari x’ dan y’ adalah:

x' =(x-a)  cos⁡α- (y-b)sin⁡α
y' =(x-a)  sin⁡α+ (y-b)cos⁡α

Matrik yang bersesuaian dengan rotasi terhadap titik asal 0 sebesar α adalah :

Dilatasi [P,k]
Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan factor skala (pengali) tertentu di pusat dilatasi tertentu.
Suatu dilatasi dengan factor skala k dan pusat dilatasi P dituliskan [P,k]
Jika [P,k] : A (x,y) => A’(x’,y’) dengan P (a,b) terdapat hubungan x’=a+k(x-a) dan y’=b+k(y-b)

Atau dapat ditulis

Matriks yang berseusaian dengan [O,k] adalah

Bayangan Titik
Bayangan titik dapat ditentukan dengan rumusan transformasi diatas atau dengan matriks

Bayangan Kurva
Bayangan kurva y = f(x) diperoeh dengan langkah sebagai berikut:

1. Tentukan nilai x dan y dalam x’ dan y’
2. Substitusikan mensubstitusikan x dan y yang diperoleh

Komposisi Transformasi
T2 o T1 artinya transformasi T1 dilanjutkan dengan T2.
Jika M1 dan M2 berturut-turut matriks T1 dan  T2 maka matriks T2 o T1 adalah M2 x M1

Luas Bayangan
Jika A’ adalah bayangan bangun A oleh matriks M, maka lusa A’ adalah:
LA’ = |M| x LA <=> LA’ = (ad-bc) x LA